C++ 递归函数在数学归纳法中的应用？

数学归纳法通过递归函数在 C++ 中得以实现，通过证明基本情况和归纳步骤，即可证明给定的命题对所有自然数成立。例如，上述代码证明了“所有自然数 n，n^2 + n + 41 是素数”。

用 C++ 递归函数演示数学归纳法

简介

数学归纳法是一种数学证明技术，用于证明对于所有自然数 n 的某个命题 P(n) 成立。它通过以下两个步骤进行：

• 基本情况：证明 P(1) 成立。
• 归纳步骤：假设 P(k) 对于某个自然数 k 成立，并证明 P(k+1) 也成立。

C++ 中的递归函数可以轻松而简洁地实现数学归纳法。

代码示例

考虑证明以下命题：

对所有自然数 n，n^2 + n + 41 是一个素数。

C++ 代码：

#include <iostream>

// 递归函数来检查一个数字是否是素数
bool isPrime(int n) {
    // 基本情况：2 是素数
    if (n <= 2)
        return true;

    // 归纳步骤：假设 n 是素数，检查 n+1
    for (int i = 2; i <= n / 2; i++) {
        if (n % i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    // 对于 1 到 100 的每个数字
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        // 检查该数字是否满足我们的命题
        if (isPrime(i * i + i + 41))
            std::cout << i << "^2 + " << i << " + 41 is prime." << std::endl;
    }
    return 0;
}

运行输出：

1^2 + 1 + 41 is prime.
2^2 + 2 + 41 is prime.
3^2 + 3 + 41 is prime.
4^2 + 4 + 41 is prime.
...

结论

此代码演示了如何使用 C++ 中的递归函数实现数学归纳法。通过将归纳法的两步作为递归函数的递归和基本情况，我们可以简洁优雅地证明某些类型的数学陈述。