从一个字符串数组中找出由A个0和B个1组成的最长子集的长度

在这个问题中，我们需要找到最多包含A个0和B1的最长子集。我们需要做的就是使用数组元素找到所有可能的子集，并找到包含最多 A 0 和 B1 的最长子集。

在本教程中，首先，我们将学习递归方法来解决问题。之后，我们将使用动态规划的方法来优化代码。

问题陈述 - 我们给出了一个包含 N 个二进制字符串的数组。此外，我们还给出了 A 和 B 整数。我们需要使用给定的二进制字符串创建最长的子集，使其不包含超过 A 0 和 B1。

示例

Input –  arr = {"101", "0", "101", "0", "1"}, A = 2, B = 1

Output – 3

说明

最长的子集是{ "0", "0", "1"}，包含2个0和1个1。

Input –  arr = {"0", "101", "0", "1"}, A = 3, B = 3

Output – 3

说明

最长的子集是{"0", "101", "0", "1"}，3个0和3个1。

方法 1

在本节中，我们将学习一种使用递归的简单方法。我们将使用数组元素构造所有可能的子集，并找到包含 A 0 和 B 1 的最长子集。

算法

• 步骤 1 - 定义 countZeros() 函数来计算给定二进制字符串中零的总数。

• 步骤 1.1 - 将“count”变量初始化为零。

• 步骤 1.2 - 使用 for 循环遍历字符串。

• 步骤 1.3 - 如果第 i 个索引处的字符为“0”，则将“cnt”的值增加 1。

• 步骤 1.2 - 返回“cnt”变量的值。

• 步骤 2 - getMaxSubsetLen() 返回整数值并采用向量 arr、int A、int B 和索引作为参数。

• 步骤 3 - 定义函数内的基本情况。如果索引等于向量的大小，或者 A 和 B 的值均为零，则返回 0。

• 第 4 步 - 现在，计算索引处字符串中零的总数。

• 第 5 步 - 从字符串长度中减去 1 的总数，即可得出 1 的总数。

• 第 6 步 - 将“第一个”变量初始化为 0。

• 步骤 7 - 如果 0 和 1 的总数分别小于 A 和 B，则包含当前的二进制字符串。存储 1 + 函数递归调用的返回值。在进行递归调用时，从 A 和 B 中减去 0 和 1。

• 第 8 步 - 排除当前字符串并将结果值存储在“第二个”变量中。

• 第 9 步 - 返回第一个和第二个的最大值。

示例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// function to count the number of 0's in a string
int countZeros(string s){

   // initialize count variable to 0
   int count = 0;
   
   // traverse the string
   for (int i = 0; i < s.size(); i++){
   
      // if the current character is 0, the increment count
      if (s[i] == '0'){
         count++;
      }
   }
   
   // return count
   return count;
}

// recursive function to find the maximum length of a subset of strings according to the given condition.
int getMaxSubsetLen(vector<string> arr, int A, int B, int index){

   // base case
   // if all the strings are traversed, or A + B becomes 0
   if (index == arr.size() || A + B == 0){
      return 0;
   }
   
   // total number of 0's in arr[index] string
   int zero = countZeros(arr[index]);
   
   // total number of 1's in arr[index] string
   int one = arr[index].size() - zero;
   
   // Stores the length of the subset, if arr[i] is included.
   int first = 0;
   
   // if the number of 0's and 1's in arr[index] is less than or equal to A and B, respectively, then include the string
   if (zero <= A && one <= B){
      first = 1 + getMaxSubsetLen(arr, A - zero, B - one, index + 1);
   }
   
   // Stores the length of the subset, if arr[i] is not included.
   int second = getMaxSubsetLen(arr, A, B, index + 1);
   
   // return the maximum of the first and second
   return max(first, second);
}

// Driver Code
int main(){
   vector<string> arr = {"101", "0", "101", "0", "1"};
   int A = 2, B = 1;
   cout << "The maximum length of the subset consisting at most A 0s and B 1s is - " <<getMaxSubsetLen(arr, A, B, 0);
   return 0;
}

输出

The maximum length of the subset consisting at most A 0s and B 1s is - 3

时间复杂度 - O(2N)，因为我们使用 N 个数组元素找到所有可能的子集。

空间复杂度 - O(1)

方法2

我们在本节中对上述方法进行了优化。我们使用动态规划的方法来解决这个问题。它存储前一个状态的结果，以降低问题的时间复杂度。

算法

• 第 1 步 - 定义 countZeros() 函数来计算特定二进制字符串中零的总数，就像我们在上述方法中所做的那样。

• 步骤 2 - 创建一个大小为 A x B x N 的 3 维向量来存储先前状态的结果。在列表中，当总 0 等于 A 且 1 等于 B 时，我们将在索引“I”处存储子集的长度。此外，将其作为 getMaxSubsetLen() 函数的参数传递。

  < /里>

• 第 3 步 - 按照我们在上述方法中所做的那样定义基本情况。

• 步骤 4 - 如果 dpTable[A][B][index] 的值大于 0，则表示状态已计算并返回其值。

• 第 5 步 - 计算当前字符串中 0 和 1 的总数。

• 第 6 步 - 获取包含和排除当前字符串后的结果值。

• 第 7 步 - 使用 max() 函数获取第一个和第二个的最大值，并将其存储在 dpTable[A][B][index] 中后返回

示例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// function to count the number of 0's in a string
int countZeros(string s){

   // initialize count variable to 0
   int count = 0;
   
   // traverse the string
   for (int i = 0; i < s.size(); i++){
   
      // if the current character is 0, the increment count
      if (s[i] == '0'){
         count++;
      }
   }
   
   // return count
   return count;
}

// recursive function to find the maximum length of a subset of strings according to the given condition.
int getMaxSubsetLen(vector<string> array, int A, int B, int index, vector<vector<vector<int>>> &dpTable){

   // base case
   if (index == array.size() || A + B == 0){
      return 0;
   }
   
   // return if already calculated
   if (dpTable[A][B][index] > 0){
      return dpTable[A][B][index];
   }
   
   // total number of 0's in the current string
   int zero = countZeros(array[index]);
   
   // total number of 1's in the current string
   int one = array[index].size() - zero;
   
   // to store the length of the subset can be formed by including the current string
   int first = 0;
   
   // if the total number of 0's and 1's in the current string is less than or equal to A and B, respectively
   if (zero <= A && one <= B){
      first = 1 + getMaxSubsetLen(array, A - zero, B - one, index + 1, dpTable);
   }
   
   // to store the length of the subset can be formed by excluding the current string
   int second = getMaxSubsetLen(array, A, B, index + 1, dpTable);
   
   // store the maximum of the first and second, and return
   return dpTable[A][B][index] = max(first, second);
}
int main(){
   vector<string> arr = {"101", "0", "101", "0", "1"};
   int A = 2, B = 1;
   vector<vector<vector<int>>> dpTable(A + 1, vector<vector<int>>(B + 1, vector<int>(arr.size() + 1, 0)));
   cout << "The maximum length of the subset consisting at most A 0s and B 1s is - " << getMaxSubsetLen(arr, A, B, 0, dpTable);
   return 0;
}

输出

The maximum length of the subset consisting at most A 0s and B 1s is - 3

时间复杂度 - O(A*B*N)，因为我们需要填充 3D 列表才能获得结果。

空间复杂度 - O(A*B*N)，因为我们使用 3D 列表进行动态规划方法。