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C++中的动态规划算法及其应用技巧

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301 2023-06-10

动态规划(Dynamic Programming, DP)是一种高效的算法,用于解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。C++语言在实现动态规划算法时,有一些技巧可以提高效率。本文将介绍C++中的动态规划算法及其应用技巧。

动态规划算法的主要思想是将问题分解为一系列子问题,并且在解决每个子问题时,保留一个状态,并利用这个状态避免重复计算。动态规划算法可以解决一些计算成本高的问题,因为它只需要计算一次每个子问题,而不是每次都计算。

  1. 动态规划的三个要素

动态规划算法需要满足三个要素:

(1)最优子结构:问题的最优解包含其子问题的最优解。

(2)无后效性:过程中的所有状态只与当前状态有关,与之前的状态无关。

(3)重叠子问题:多个子问题相互重叠,可以避免重复计算。

  1. 动态规划的基本分类

动态规划有两种基本分类:一种是基于状态的动态规划,另一种是基于决策的动态规划。基于状态的动态规划是指在计算时,保存每个子问题的解,然后依据这些解的值,来计算更大的问题的解。状态的保存通常使用数据结构,例如数组。基于决策的动态规划是指在计算时,依据每个子问题的最优解,来决定更大问题的最优解。这种方法通常用于优化问题的解,或者是在计算最小值时使用。

  1. 动态规划的应用技巧

在实现C++中的动态规划算法时,有一些应用技巧可以提高效率。这些技巧包括:

(1)使用常数代替数组下标:一些动态规划问题中,需要对数组进行多次访问。此时,可以将数组的下标替换为常数,这样可以加快访问速度。例如:

for(int i=0;i<n;i++){
    for(int j=0;j<m;j++){
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
    }
}

可以用变量k代替dp数组的下标:

for(int k=2;k<=n+m;k++){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int j = k-i;
        if(j<1 || j>m) continue;
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
    }
}

(2)优化数组:有些动态规划问题中,数组的大小非常大,可能会导致内存限制。此时,可以使用滚动数组或者二维数组的第一维来保存中间结果。例如:

int dp[N][M];
for(int i=0;i<N;i++){
    for(int j=0;j<M;j++){
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
    }
}

可以优化为:

int dp[2][M];
for(int i=0;i<N;i++){
    int cur = i%2, pre = (i+1)%2;
    for(int j=0;j<M;j++){
        dp[cur][j] = max(dp[pre][j],dp[cur][j-1])+1;
    }
}

(3)节约空间:有一些动态规划问题中,只需要保存最近的几个状态,而不需要保存整个数组。此时,可以使用滚动数组,只保存最近的几个状态即可。

(4)避免重复计算:有一些动态规划问题中,可能会存在重复的子问题。此时,可以使用记忆化搜索或者自底向上的动态规划方式,来避免重复计算。

  1. 动态规划的实例

下面列举一些动态规划问题的实例:

(1)斐波那契数列:斐波那契数列是指从0、1开始,每个数都等于前两个数的和。例如,0、1、1、2、3、5、8、13、21。

递推公式为:f[n] = f[n-1] + f[n-2]

使用动态规划算法,可以实现如下:

int dp[N];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}

(2)背包问题:背包问题是指有N个物品,每个物品有一个重量和一个价值。给定一个背包的容量C,求在不超过背包容量的情况下,能够装入的最大价值。

使用动态规划算法,可以实现如下:

int dp[N][C];
for(int i=0;i<N;i++){
    for(int j=0;j<C;j++){
        dp[i][j] = 0;
    }
}
for(int i=0;i<N;i++){
    for(int j=0;j<=C;j++){
        if(j>=w[i]){
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
        else{
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    }
}

以上是C++中动态规划算法及其应用技巧的简要介绍。对于复杂的动态规划问题,还需要考虑时间复杂度和空间复杂度的问题。因此,在实现动态规划算法时,需要综合考虑各种因素,选择合适的方法。