回文自拍数

如果一个数字可以仅使用其自己的数字和某些数学运算来表示，则该数字被视为“自拍数字”。

例如，936是一个自拍号码。

$$mathrm{936:=:(sqrt{9})!^{3}:+:6!:=:216:+:720:=:第936章

这里可以看到，对原数的数字进行了一系列运算，结果与原数相等。

回文自拍号码是一种特殊的自拍号码。他们满足自拍乘法规则。

• 考虑一个数字 x。

• 设 x 的数字反转后的数为 $mathrm{x^prime}$。

• 令 y 为由 x 的数字以不同顺序组成的数字。

• 设 y 的数字反转后的数为 $mathrm{y^prime}$。

回文自拍数满足以下方程 -

$$mathrm{x:×:x^prime:=:y:×:y^prime}$$

问题陈述

对于给定的数字x，根据自拍乘法规则求其回文自拍数。

示例

Input: 1224
Output: 2142

说明 -

给定 x = 1224

所以 $mathrm{x^prime}$ = 4221 是将 x 的数字反转得到

令 y = 2142。y 是使用 x 的数字以不同顺序形成的

所以 $mathrm{y^prime}$ = 2412 是将 y 的数字反转得到的

$mathrm{x:×:x^prime}$ = 1224 × 4221 = 5166504 和 $mathrm{y:×:y^prime}$ = 2142 × 2412 = 5166504

Sincex× x' = y × y'，y为x的回文自拍数。

Input 4669:
Output: 6496

说明 -

给定 x = 4669

所以 $mathrm{x^prime}$ = 9664 是将 x 的数字反转得到

令 y = 6496。y 是使用 x 的数字以不同顺序形成的

所以 $mathrm{y^prime}$ = 6946 是将 y 的数字反转得到的

$mathrm{x:×:x^prime}$ = 4669 × 9664 = 45121216 和 $mathrm{y:×:y^prime}$ = 6496× 6946= 45121216

由于 x× x' = y × y'，y 是 x 的回文自拍数。

Input: 456
Output: No palindromic selfie number exists

说明 -

给定 x = 456

所以 $mathrm{x^prime}$ = 654 是通过将 x 的数字反转得到的

令 y = 546。y 是使用 x 的数字以不同顺序形成的

所以 $mathrm{y^prime}$ = 645 是通过将 y 的数字反转得到的

$mathrm{x:×:x^prime}$ = 456 × 654 = 298224 和 $mathrm{y:×:y^prime}$ = 546× 645= 352170

由于 $mathrm{x:×:x^prime}$ ≠ $mathrm{y:×:y^prime}$，因此 y 不是 x 的回文自拍照数。

没有其他 456 的排列也满足自拍乘法规则。

解决方案

查找给定数字的回文自拍照数字的解决方法相当直观且易于理解。

该方法包括以下步骤 -

• 定义一个“反向”函数

• 接受一个整数作为输入

• 将其转换为字符串

• 反转字符串

• 将其转换回整数。

• 定义一个函数“Swap”

• 采用整数 i 和 j 作为输入

• 将整数转换为字符串

• 交换字符串中的第 i 个和第 j 个字符

• 将字符串转换回整数。

• 定义一个函数“置换”

• 采用整数、l、r 和一组“排列”作为输入。

• 它递归地生成整数数字的所有可能排列

• 它将它们存储在“排列”集中。

• 定义一个函数“palindromic_selfie”

• 采用整数“num”和一组“permutations”作为输入。

• 它使用“permute”函数生成整数“num”的所有可能的排列

• 然后，它通过将数字及其逆序的乘积与排列及其逆序的乘积进行比较，检查这些排列中的任何一个是否满足回文自拍属性。

• 如果找到这样的排列，则返回该数字。否则，返回-1。

• 在主函数中，设置一个数字“n”和一个用于存储排列的空集。

• 使用“n”和空集调用“palindromic_selfie”函数，并存储返回结果。

• 如果返回结果为-1，则打印“不存在回文自拍数”。否则，打印返回结果。

示例：C++ 程序

以下 C++ 程序查找给定整数的回文自拍编号（如果存在）并返回它。它通过使用 permute() 函数找到给定数字的所有可能的排列，然后使用 reverse() 函数确定给定数字和该数字的任何排列是否满足 palindrome_selfie() 函数中的自拍乘法规则来实现此目的。如果不存在这样的数字，则会打印“No Palindrome Selfie Number Exists”。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to reverse the digits of a number
int reverse(int num){
   
   // converting number to string
   string str = to_string(num);
   reverse(str.begin(), str.end());
   
   // converting string to integer
   num = stoi(str);
   return num;
}

// Function that Swaps the digits i and j in the num
int Swap(int num, int i, int j){
   char temp;
   
   // converting number to string
   string s = to_string(num);
   
   // Swap the ith and jth character
   temp = s[i];
   s[i] = s[j];
   s[j] = temp;
   
   // Convert the string back to int and return
   return stoi(s);
}

// Function to get all possible permutations of the digits in num
void permute(int num, int l, int r, set<int> &permutations){
   
   // Adds the new permutation obtained in the set
   if (l == r)
      permutations.insert(num);
   else{
      for (int i = l; i <= r; i++){
         
         // Swap digits to get a different ordering
         int num_copy = Swap(num, l, i);
         
         // Recurse to next pair of digits
         permute(num_copy, l + 1, r, permutations);
      }
   }
}

// Function to check for palindrome selfie number
int palindromic_selfie(int num, set<int>& permutations) {
   
   // Length of the number required for calculating all permutations of the digits
   int l = to_string(num).length() - 1;
   permute(num, 0, l, permutations); // Calculate all permutations
   
   //Remove the number and its reverse from the obtained set as this is the LHS of multiplicative equation
   auto n1 = permutations.find(reverse(num));
   auto n2 = permutations.find(num);
   if (n1 != permutations.end())
      permutations.erase(n1);
   if (n2 != permutations.end())
      permutations.erase(n2);
   
   // Go through all other permutations of the number
   for (set<int>::iterator it = permutations.begin(); it != permutations.end(); it++) {
      int num2 = *it;
      
      // Check if selfie multiplicative rule holds i.e. x * reverse(x) = y * reverse(y)
      if (num * reverse(num) == num2 * reverse(num2)) {
         return num2;
      }
   }
   
   // If no such number found
   return -1;
}
int main(){
   int n = 1234;
   cout << "n: " << n << endl;
   set<int> permutations;
   int ans = palindromic_selfie(n, permutations);
   if (ans == -1) {
      cout << "No Palindromic Selfie Number Exists" << endl;
   }
   else{
      cout << ans << endl;
   }
   return 0;
}

输出

n: 1234
No Palindromic Selfie Number Exists

时间和空间复杂度分析

时间复杂度：O(n!)

此代码的时间复杂度为 O(n!)，其中 n 是输入数字的位数。这是因为有 n! n 位数字的排列，并且 permute() 方法生成数字的所有潜在排列。

空间复杂度：O(n!)

由于集合“排列”包含所有可能的数字组合，等于 n!，因此该代码的空间复杂度为 O(n!)。 verse() 和 Swap() 函数的空间复杂度为 O(n)，因为它们还生成长度为 n 的临时字符串。空间复杂度为 O(n!) 的排列集合主导了整个代码的空间复杂度。

结论

回文自拍数是数学中一个有趣的概念。它们满足自拍乘法方程。本文讨论了一种方法来查找一个数字是否具有回文自拍号码，如果是，则返回它。对问题的概念、解决方法、C++程序以及程序的时间和空间复杂度进行了深入分析。