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找到给定范围内的最大公约数

范围最大公约数
272 2023-08-29

问题表明我们需要找到给定范围内的 GCD。我们将得到两个正整数 x 和 y 以及两个整数 p 和 q，其范围为 [p,q]。我们需要找出落在 [p,q] 范围内的数字 x 和 y 的 GCD（最大公约数）。 GCD，在数学中被称为最大公约数，是两个给定正整数相除的最大正整数。给定的整数不得为零。对于任意两个正整数 x 和 y，它表示为 gcd(x,y)。

例如，我们有两个正整数 6 和 9。最大公约数 gcd(6,9) 将为 3，因为它是除以这两个数字的最大数。

但是在这个问题中，我们需要找到两个给定的在指定范围内的正整数的最大公约数。让我们通过例子来理解这个问题。我们将得到 4 个数字作为输入 x 和 y 来查找这些数字的 gcd 和两个指示 gcd 范围的数字，即 [p,q]。

输入：x=8、y=12、p=1、q=3

输出：2

解释 - 由于给定的两个数字 x 和 y 的最大公约数是 4。但是 4 不在范围 [1,3] 之内。 [1,3] 范围内的最大公约数是 2，这是我们所需的输出。

输入：x=17、y=15、a=5、b=10

输出：-1

解释 - 数字 17 和 15 的最大公约数是 1。因为 1 不在给定范围 [5,10] 内。当给定范围内没有公约数时，我们需要打印 -1 作为输出。

算法

我们用来解决问题的算法非常简单并且与数学相关。首先，我们将找到数字 x 和 y 的 gcd（最大公约数）。在 C++ 中，有一个名为 gcd() 的内置函数，它返回数字的最大公约数作为输出。

语法

int divisor=gcd(x,y);

我们还可以使用欧几里得算法的有效方法来查找两个数字的 gcd。两者同时工作，时间复杂度为 O(log(min(x,y))。

现在，我们可以使用简单的算术定律得出结论：除以两个数字的 gcd 的数字也将除以这两个数字本身。因此，在 for 循环中从 i=1 迭代到 sqrt(gcd(x,y)) 将帮助我们获得该数字的所有公约数。

然后，检查每个 i 直到 sqrt(gcd(x,y)) i 是否整除 gcd(x,y)。如果 i 除以 gcd(x,y)，那么我们可以说 gcd(x,y)/i 也将是 gcd 的除数，从而得出结论，它也是数字 x 和 y 的公约数。

让我们通过一个例子来理解这个概念。假设 x 和 y 分别为 32 和 48。gcd(18,27) 为 16。所以在这种情况下，我们将从 i=1 迭代到 i<=4，即 sqrt(16)。让我们考虑 i=2。这里我除以 gcd(18,27)，即 16/2，等于 8。因此 gcd(x,y)/i 也会除 gcd(x,y) 得到 i。

注意 - 如果数字 n 除以任意数字 x 得到 y，可以表示为 $frac{n}{x}:=:y$ 那么 y 将将 n 除以 x $(x:times:y:=:n)$。

该算法可能是解决该问题的最有效方法。在遵循这个算法的同时，我们将不断检查公约数是否在 [a,b] 范围内。如果不正确，我们将使用 max() 函数不断更新变量中的除数，以获得范围内的最大公约数。

max() 函数的语法

int m = max(a,b);

它返回 a 和 b 的最大值。

方法

以下是我们将遵循的方法 -

初始化一个函数来计算给定范围内的最大公约数。
计算两个给定正数 x 和 y 的 gcd。
初始化变量名称 ans = -1。
在 for 循环中从 i=1 迭代到 i<=sqrt(gcd(x,y)) 并不断检查 i 是否整除 gcd(x,y)。
如果 (gcd(x,y)%i)=0，检查 i 是否在 [a,b] 范围内，以及是否使用 max() 函数将其存储在 ans 中，以便我们得到最大公约数位于该范围内。
同时检查 gcd/i 是否在范围内，如果在范围内，则再次使用 max() 函数更新 ans 的值。
完成 for 循环中的所有迭代后返回 ans。

示例

该方法在 C++ 中的实现 -

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// to calculate gcd of two numbers using Euclidean algorithm
int gcd(int a, int b){
   if(a == 0)
   return b;
   return gcd(b % a, a);
}

//function to calculate greatest common divisor in the given range [a,b]
int build(int x, int y, int a, int b) {

   //using C++ inbuilt library to calculate gcd of given numbers
   int z = gcd(x, y); //we can use euclidean algorithm too as an alternative
   int ans = -1; //storing -1 for the case when no common divisor lies in the range
   for(int i = 1; i<=sqrt(z); i++) { //iterating until sqrt(z) because either of two factors
      //of a number must be less than square root of the number
      if(z % i == 0) {
         if(i >= a && i <= b) //checking it i lies in the range
         ans = max(ans, i); //storing maximum value
         if((z / i) >= a && (z / i) <= b)
         ans = max(ans, z / i);
      }
   }
   return ans;
}
int main() {
   int x, y, a, b;
   x=24, y=42, a=3, b=9;
   cout << build(x, y, a, b) <<" is the gcd that lies in range ["<<a<<","<<b<<"]"<<endl;
   return 0;
}