二叉树中等腰三角形的数量

二叉树是一种数据结构，其中每个节点最多可以有两个子节点。这些孩子分别称为左孩子和右孩子。假设我们得到了一个父数组表示，您必须使用它来创建一棵二叉树。二叉树可能有几个等腰三角形。我们必须找到该二叉树中可能的等腰三角形的总数。

在本文中，我们将探讨几种在C++中解决这个问题的技术。

理解问题

给你一个父数组。您必须以二叉树的形式表示它，以便数组索引形成树节点的值，而数组中的值给出该特定索引的父节点。

请注意，-1 始终是根父节点。下面给出的是一个数组及其二叉树表示。

Parent array = [0, -1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4]

二叉树 -

在任何二叉树中，我们都可以三种类型的等腰三角形 -

• 左等腰三角形 − 在这个三角形中，顶点是一个左边的父节点的子节点，而形成底边（等腰三角形的两边）的顶点是顶点的左子节点。子节点可以是直接的或间接的。在上面的树中，我们有两个这样的等腰三角形-（2, 6, 3），（3, 7, 1）。

• 直角等腰三角形 − 在此三角形中，顶点是 右父级的子级，而形成基部的顶点是顶点的右子级。孩子可以是直接的或间接的。在上面的树中，我们只有一个这样的等腰三角形 (4, 1, 8)。

• 平衡等腰三角形 − 在此三角形中，形成底边的顶点是顶点节点的左子节点和右子节点。在上面的树中，我们有五个这样的等腰三角形 (1, 3, 4), (3, 2, 7), (4, 8, 9), (2, 5, 6), (1, 2, 9)

因此，对于上述二叉树，我们共有8个等腰三角形。

使用深度优先搜索遍历

深度优先搜索（DFS）是一种以深度方式遍历树的所有节点的方法。它从根节点开始，移动到每个分支，然后回溯。

• 首先，我们使用DFS遍历二叉树的每个节点，并将其转换为图，以便每个节点表示为彼此相邻。这使得遍历更加容易。

• 对于每个节点，我们检查它是否有子节点。在检查完后，我们使用 sort(node[x].begin(), node[x].end()) 函数对它们进行排序。

• 接下来，我们检查当前节点是否是其相应父节点的左或右后继节点。我们对二叉树的所有节点递归使用DFS函数。

• 如果当前节点有两个子节点（直接或间接），我们通过计算它们之间的边来检查存在等腰三角形的可能性。我们将通过下面代码中给出的 graph 函数找到它们之间的边。

• 最后，我们通过将不同位置的所有可能的三角形相加来计算等腰三角形的总数。

示例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

#define MAX int(1e5)
vector < int > * node;
int right_down[MAX];
int right_up[MAX];
int left_down[MAX];
int left_up[MAX];

// DFS traversal over a node
void DFS(int x, int * parent) {
   // Check if adjacent nodes are present for node x
   if (node[x].size() != 0)
      sort(node[x].begin(), node[x].end());

   // Check whether the node has a parent node
   if (parent[x] != -1) {
      int indexOfParent = parent[x];
      int childrenCount = node[indexOfParent].size();

      if (childrenCount > 1) {
         int parentFirstChild = node[indexOfParent][0];

         // Check if current node is left node of the parent
         if (x == parentFirstChild) {
            right_up[x] += right_up[indexOfParent] + 1;
            // Check if current node is right node of the parent  
         } else {
            left_up[x] += left_up[indexOfParent] + 1;
         }
      } else {
         right_up[x] += right_up[indexOfParent] + 1;
      }
   }

   // Iterate over children of current node  
   for (int i = 0; i < node[x].size(); ++i) {
      int y = node[x][i];
      DFS(y, parent);

      // left child of current node
      if (i == 0) {
         left_down[x] += left_down[y] + 1;
      }
      // right child of current node
      else {
         right_down[x] += right_down[y] + 1;
      }
   }
}

int graph(int * parent, int N) {
   int rootNode;
   node = new vector < int > [N];

   for (int i = 0; i < N; ++i) {
      if (parent[i] != -1) {
         node[parent[i]].push_back(i);
      } else {
         rootNode = i;
      }

      left_up[i] = 0;
      right_up[i] = 0;
      left_down[i] = 0;
      right_down[i] = 0;
   }
   return rootNode;
}

int main() {
   int N = 10;
   int parent[] = { 0, -1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4 };
   int rootNode = graph(parent, N);
   DFS(rootNode, parent);
   int count = 0;
   // Counting the total isosceles triangles
   for (int i = 0; i < N; ++i) {
      count += min(right_down[i], right_up[i]);
      count += min(left_down[i], left_up[i]);
      count += min(left_down[i], right_down[i]);
   }
   cout << "Number of isosceles triangles in the binary tree are " <<
      count;
   return 0;
}

输出

Number of isosceles triangles in the binary tree are 8

结论

我们已经讨论了当给定父数组时如何查找二叉树中等腰三角形的总数。我们可以通过使用深度优先搜索来实现这一点，它允许我们遍历二叉树。